[科普中國]-自然參數(shù)

利用非零全純二次微分可做出Sg上的局部全純坐標(biāo)系，即所謂自然參數(shù)。

簡介全純二次微分式全純二次微分是一種特殊的二次微分式，是在局部坐標(biāo)z下表為且在局部坐標(biāo)變換下不變的微分式。若f是點z的全純函數(shù)，則稱w為Sg上的全純二次微分式。

由黎曼-羅赫定理可知：Sg上所有全純二次微分的全體是6g-6維實的向量空間。

自然參數(shù)利用非零全純二次微分可做出Sg上的局部全純坐標(biāo)系，即所謂自然參數(shù)。

作法自然參數(shù)的作法如下：

設(shè)p∈Sg，z為p附近的局部坐標(biāo)，z(p)=0，w=f(z)dz。若f(z(p))=f(0)≠0，則在原點附近是單射，此處取為一單值分支，從而在p的鄰域內(nèi)是一局部全純坐標(biāo)。

若p是w的n階零點，則存在以原點為中心的圓盤D(0;r)，使得在其內(nèi)，其中ψ(z)全純且ψ(z)≠0。取定的一個單值分支；

如n為奇數(shù)，則沿切割D(0;r)，然后取z在D(0;r)\I中一個分支；

如n為偶數(shù)，則無須切割D(0;r)，總之，

是定義于D(0;r)\I的單值函數(shù)。可驗證是單值且在原點的導(dǎo)數(shù)不為0，從而可作為p點附近的局部坐標(biāo)。

設(shè)0