[科普中國(guó)]-高階加托導(dǎo)算子

高階加托導(dǎo)算子亦稱(chēng)高階G導(dǎo)算子或高階弱導(dǎo)算子，是G導(dǎo)算子概念的高階推廣形式。

簡(jiǎn)介高階加托微分高階加托微分亦稱(chēng)高階 G 微分或高階弱微分，是 G 微分概念的高階推廣形式。

設(shè) X，Y為賦范線(xiàn)性空間，Ω是 X中的開(kāi)集，f:Ω→Y是映射，。若f 在Ω中每點(diǎn) G 可微，則，在有 G 微分。這時(shí)若映射在x0為G可微，則稱(chēng)f 在x0為二階G可微，映射在x0沿方向的G微分記為，稱(chēng)為 f 在x0點(diǎn)二階G微分。

歸納地，若f在Ω中每點(diǎn)有n 階G微分在點(diǎn)x0為 G 可微，則稱(chēng) f 在x0為n+1階 G 可微，這時(shí)映射在x0沿hn+1點(diǎn)微分，記為，稱(chēng)為 f 在x0的n+1階G微分。

定義如果對(duì)每個(gè)變?cè)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/thOvKQ4HOER5iRlcBdTqIOOCBeuIFfX0Z3gI.jpg" alt="" />分別是線(xiàn)性的，則稱(chēng) f 是x0有n階線(xiàn)性微分，這時(shí)確定一n線(xiàn)性算子，記為，即有

稱(chēng)為 f 在x0點(diǎn)n階加托導(dǎo)算子或n階G導(dǎo)算子或n階弱導(dǎo)算子。

若還是有界的，則稱(chēng) f 在x0有有界n階線(xiàn)性G微分。1

加托導(dǎo)算子若f在x0加托可微，且Df(x0;h)關(guān)于h∈X是線(xiàn)性的，則稱(chēng)f在x0有線(xiàn)性弱微分，此時(shí)存在線(xiàn)性算子A:X→Y，使得Df(x0;h)=Ah(?h∈X)，這個(gè)線(xiàn)性算子A常記為Df(x0)（或df(x0)，或f'(x0)），稱(chēng)為f在x0的加托導(dǎo)算子（簡(jiǎn)稱(chēng)G導(dǎo)算子）或弱導(dǎo)算子。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李宗秀 - 副教授 - 黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院