[科普中國]-秦九韶算法

秦九韶算法是中國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡化算法。在西方被稱作霍納算法。秦九韶（約公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于魯郡（今山東曲阜一帶人）。

早年曾從隱君子學(xué)數(shù)術(shù)，后因其父往四川做官，即隨父遷徙，也認(rèn)為是普州安岳（今四川安岳縣）人。

基本介紹學(xué)者簡介秦九韶與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家。（安岳縣于1998年9月正式開工建設(shè)秦九韶紀(jì)念館，2000年12月竣工落成。）

秦九韶聰敏勤學(xué)，宋紹定四年（公元1231），秦九韶考中進(jìn)士，先后擔(dān)任縣尉、通判、參議官、州守等職。先后在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官。南宋理宗景定元年（公元1260年）出任梅州太守，翌年卒于梅州。據(jù)史書記載，他“性及機(jī)巧，星象、音律、算術(shù)以至營造無不精究”，還嘗從李梅亭學(xué)詩詞。他在政務(wù)之余，以數(shù)學(xué)為主線進(jìn)行潛心鉆研，且應(yīng)用范圍至為廣泛：天文歷法、水利水文、建筑、測繪、農(nóng)耕、軍事、商業(yè)金融等方面。

秦九韶是我國古代數(shù)學(xué)家的杰出代表之一，他的《數(shù)書九章》概括了宋元時期中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的主要成就，尤其是系統(tǒng)總結(jié)和發(fā)展了高次方程的數(shù)值解法與一次同余問題的解法，提出了相當(dāng)完備的“正負(fù)開方術(shù)”和“大衍求一術(shù)”。對數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了廣泛的影響。

秦九韶是一位既重視理論又重視實(shí)踐，既善于繼承又勇于創(chuàng)新的科學(xué)家，他被國外科學(xué)史家稱為是“他那個民族，那個時代，并且確實(shí)也是所有時代最偉大的數(shù)學(xué)家之一。1

相關(guān)貢獻(xiàn)秦九韶算法是一種將一元n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化為n個一次式的算法。其大大簡化了計(jì)算過程，即使在現(xiàn)代，利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法。

在西方被稱作霍納算法，是以英國數(shù)學(xué)家霍納命名的。1

計(jì)算方法一般地，一元n次多項(xiàng)式的求值需要經(jīng)過(n+1)*n/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工計(jì)算時，一次大大簡化了運(yùn)算過程。

把一個n次多項(xiàng)式

改寫成如下形式：

求多項(xiàng)式的值時，首先計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即

然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即

這樣，求n次多項(xiàng)式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項(xiàng)式的值。

結(jié)論：對于一個n次多項(xiàng)式，至多做n次乘法和n次加法。2

《數(shù)書九章》

宋淳祜四至七年（公元1244至1247），秦九韶在湖州為母親守孝三年期間，把長期積累的數(shù)學(xué)知識和研究所得加以編輯，寫成了舉世聞名的數(shù)學(xué)巨著《數(shù)書九章》。 書成后，并未出版。原稿幾乎流失，書名也不確切。后歷經(jīng)宋、元，到明建國，此書無人問津，直到明永樂年間，在解縉主編《永樂大典》時，記書名為《數(shù)學(xué)九章》。又經(jīng)過一百多年，經(jīng)王應(yīng)麟抄錄后，由王修改為《數(shù)書九章》。1

全書不但在數(shù)量上取勝，重要的是在質(zhì)量上也是拔尖的。從歷史上來看，秦九韶的《數(shù)書九章》可與《九章算術(shù)》相媲美；從世界范圍來看，秦九韶的《數(shù)書九章》也不愧為世界數(shù)學(xué)名著。

他在《數(shù)書九章》序言中說，數(shù)學(xué)“大則可以通神明，順性命；小則可以經(jīng)世務(wù)，類萬物”。所謂“通神明”，即往來于變化莫測的事物之間，明察其中的奧秘；“順性命”，即順應(yīng)事物本性及其發(fā)展規(guī)律。在秦九韶看來，數(shù)學(xué)不僅是解決實(shí)際問題的工具，而且應(yīng)該達(dá)到“通神明，順性命”的崇高境界。1

《數(shù)書九章》全書共九章九類，十八卷，每類9題共計(jì)81個算題。該書著述方式，大多由“問曰”、“答曰”、“術(shù)曰”、“草曰”四部分組成：“問曰”，是從實(shí)際生活中提出問題；“答曰”，是給出答案；“術(shù)曰”，是闡述解題原理與步驟；“草曰”，是給出詳細(xì)的解題過程。另外，每類下還有頌詞，詞簡意賅，用來記述本類算題主要內(nèi)容、與國計(jì)民生的關(guān)系及其解題思路等。2

歷史19世紀(jì)初，英國數(shù)學(xué)家威廉·喬治·霍納重新發(fā)現(xiàn)并證明，后世稱作霍納算法（Horner's method、Horner scheme）。但是，19世紀(jì)英國傳教士偉烈亞力Alexander Wylie. (1815–1887) 最早對霍納的發(fā)明權(quán)提出質(zhì)疑。他在1852年著的《中國科學(xué)扎記》（Jottings on the Science of the Chinese）一篇論文中，詳細(xì)介紹秦九韶的正負(fù)開方術(shù)之后寫道“讀者不難認(rèn)出這就是霍納在1819年因?yàn)榘l(fā)表《解所有次方程》論文，被數(shù)學(xué)家奧古斯都·德·摩根評為‘必使其發(fā)明人因發(fā)現(xiàn)此算法而置身于重要發(fā)明家之列’的方法；我以為應(yīng)該對霍納的發(fā)明權(quán)提出辯駁。歐洲的朋友們可能會覺得意外，一位來自天朝帝國的競爭者，有更大的機(jī)會確立他的優(yōu)先權(quán)”。此后，日本數(shù)學(xué)史家三上義夫在《中日數(shù)學(xué)史》一書中在詳述秦九韶的正負(fù)開方術(shù)后寫道：“誰能否認(rèn)，霍納的輝煌方法，至少在早于歐洲六百年之前，已經(jīng)在中國運(yùn)用了?！?。三上義夫還最先指出，秦九韶算法起源于漢代《九章算術(shù)》的開方法。其后王玲和李約瑟有專文論述秦九韶算法起源于《九章算術(shù)》。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)史家尤什克維奇說“這是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最偉大成就之一”，他還說印度人不知有此方法，而阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家可能從中國前人傳入此方法。

下面以自今到古的順序，列出早在霍納之前對該算法的發(fā)現(xiàn)：

1809年，保羅·魯菲尼

1669年，艾薩克·牛頓（但缺乏詳細(xì)引文）

14世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家朱世杰

13世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中

12世紀(jì)，波斯的伊斯蘭數(shù)學(xué)家薩拉夫·丁·圖西

11世紀(jì)（宋朝），中國數(shù)學(xué)家賈憲

漢朝（公元前202到公元220年），劉徽所注的《九章算術(shù)》中

霍納在1819年發(fā)表的《解所有次方程》論文中的算例，其算法程序和數(shù)字處理都遠(yuǎn)不及五百多年前的秦九韶有條理；秦九韶算法不僅在時間上早于霍納，也比較成熟。

元代數(shù)學(xué)家李冶和朱世杰繼承了秦九韶算法。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

楊曉紅 - 副教授 - 西南大學(xué)