菲爾茨獎第二名女性得主誕生，她用23頁紙的簡潔證明震驚數(shù)學(xué)界

2022年7月5日，國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟（IMU）公布了新一屆素有“數(shù)學(xué)諾貝爾”之稱的菲爾茲獎。頒獎儀式在位于赫爾辛基的阿爾托大學(xué)(Aalto University)線下舉行。法國數(shù)學(xué)家雨果·迪米尼-科潘（Hugo Duminil-Copin，36歲）、美籍韓裔數(shù)學(xué)家許埈珥（June Huh，39歲）、英國數(shù)學(xué)家詹姆斯·梅納德（James Maynard，35歲）和烏克蘭數(shù)學(xué)家馬林娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska，37歲）獲此殊榮。

其中，維亞佐夫斯卡是該獎歷史上第二位女性得主，也是烏克蘭首位獲得該獎的數(shù)學(xué)家，獲獎理由是“表彰其利用E8格證明了8維空間中的等體球體最密堆積問題，以及對相關(guān)極值問題和傅里葉分析中插值問題的進(jìn)一步貢獻(xiàn)?！北疚闹v述了其非凡驚人的工作。

7月3日，《返樸》曾刊發(fā)加州理工學(xué)院倪憶教授的文章《2022年菲爾茲獎，呼之欲出？》，該文預(yù)測到了新晉四位得主中的三人，對他們的成就都有簡要介紹，也提到了有著傳奇經(jīng)歷的許埈珥，他的故事可詳見今日微信二條。

撰文 | 埃莉卡·克拉賴希（Erica Klarreich）

翻譯 | 張旭成

馬林娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska），37歲。

在2016年在線發(fā)布的兩篇論文中，一位烏克蘭數(shù)學(xué)家解決了有數(shù)百年歷史的“球堆積”問題的兩個(gè)高維版本。她證明，在8維和24維（后一情形與其他研究人員合作完成）的情形下，兩種高度對稱的排列能夠以盡可能最密集的方式將球體堆積在一起。

數(shù)學(xué)家最晚從1611年就開始研究球堆積了。當(dāng)時(shí)，約翰內(nèi)斯·開普勒推測（Johannes Kepler），在空間中把相同大小的球體堆在一起的最密集的方式，就是雜貨店里常見的用來擺放橙子的金字塔形。盡管這個(gè)問題看起來簡單，但它直到1998年才得以解決——托馬斯·黑爾斯（Thomas Hales）以250頁的數(shù)學(xué)論證結(jié)合龐大的計(jì)算機(jī)計(jì)算，最終證明了開普勒的猜想。[1]

高維的球堆積很難想象，但非常實(shí)用：球體密堆積與手機(jī)、空間探測器和互聯(lián)網(wǎng)通過噪聲信道發(fā)送信號時(shí)使用的糾錯碼密切相關(guān)。高維球體很容易定義——它只是高維空間中與給定的中心點(diǎn)有固定距離的點(diǎn)的集合。

在高維空間中尋找相同大小球體的最密堆積應(yīng)該比黑爾斯解決的三維情形更復(fù)雜，因?yàn)槊吭黾右粋€(gè)維度就意味著有更多可能的堆積方式要考慮。然而數(shù)學(xué)家們早就知道有兩個(gè)維數(shù)是特殊的：8維和24維，這兩個(gè)維數(shù)中分別存在著被稱為E8 和利奇格（Leech lattice）的對稱球堆積， 這兩種令人眼花繚亂的球堆積要好于在其他維數(shù)上已知的最密球堆積的候選者。

“不知怎么的，一切都剛好完美地融合在了一起，這簡直是個(gè)奇跡?！瘪R薩諸塞州劍橋市微軟新英格蘭研究院的數(shù)學(xué)家亨利·科恩（Henry Cohn）說，“我想不出一個(gè)簡單且直觀的方法來解釋它是什么。”

出于數(shù)學(xué)家們尚未完全理解的一些原因，E8 和利奇格與包括數(shù)論、組合和雙曲幾何在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)學(xué)科有關(guān)，甚至與弦論等物理領(lǐng)域也有關(guān)?？贫髡f，它們形成了“一種紐帶，讓許多不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域相交匯”。

“這其中發(fā)生了一些奇妙的事情，我想知道它是什么?！?/p>

數(shù)學(xué)家們已經(jīng)積累了令人信服的數(shù)值證據(jù)，表明 E8 和利奇格分別是各自維度上的最密堆積。但這些證據(jù)還不足以形成嚴(yán)格的證明。早在十多年前，研究人員就知道證明中缺少的應(yīng)該是一個(gè)“輔助”函數(shù)，它可以計(jì)算最大容許的球體密度，但他們尚未找到這個(gè)正確的函數(shù)。

2016年3月14日，馬林娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska）在線發(fā)布了一篇論文，給出了8維情形缺少的函數(shù)。[2]她的工作使用了模形式的理論，模形式是一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)函數(shù)，當(dāng)它被應(yīng)用于某個(gè)問題時(shí)， 似乎可以解鎖大量的信息。在8維情形下，當(dāng)時(shí)還是柏林?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)院和柏林洪堡大學(xué)博士后研究員的維亞佐夫斯卡找到正確的模形式，只用23頁紙就證明了 E8 是最密的8維堆積。

普林斯頓大學(xué)和高等研究院的彼得·薩爾納克（Peter Sarnak）說：“就像所有偉大的事情一樣，這個(gè)證明非常簡單。剛開始讀論文時(shí)，你就知道它是對的?！?/p>

一周之內(nèi)，維亞佐夫斯卡、科恩和其他三位數(shù)學(xué)家成功地將她的方法推廣到了利奇格。“我想我們中一些人已經(jīng)對此期待了很長時(shí)間?！焙跔査拐f。

圖片來源：Daniil Yevtushynsky

填充空隙

我們可以在每個(gè)維數(shù)構(gòu)造一個(gè)類似于金字塔狀的橙子堆，但隨著維數(shù)增加，高維橙子之間的空隙也會增大。到8 維時(shí)，這些空隙已經(jīng)大到足以容納新的橙子，并且只有在8維情況下，新添加的橙子才被緊緊固定在空隙中。由此產(chǎn)生的8維球堆積就是E8，雖然它是通過兩步構(gòu)造出來的，但它的結(jié)構(gòu)比預(yù)想的要均勻得多。“一部分神秘之處在于，這個(gè)對象比聽上去要漂亮和對稱得多?！笨贫髡f，“它有很多額外的對稱性?！?/p>

類似地，利奇格也是通過在密度較低的堆積中添加球體來構(gòu)建的， 這一點(diǎn)幾乎是在事后才被發(fā)現(xiàn)的。20世紀(jì)60年代，英國數(shù)學(xué)家約翰·利奇（John Leech）研究了一種24維堆積，它可以通過“戈萊碼”（Golay code）構(gòu)造。戈萊碼是一種糾錯碼，后來被用于傳輸旅行者號探測器拍攝到的有歷史意義的木星和土星照片。在利奇關(guān)于這種堆積的文章發(fā)表后不久，他注意到，這種堆積所產(chǎn)生的空隙有足夠的空間，可以放入更多的球，并且這樣做會使堆積的密度增加一倍。[3]

利奇格由此產(chǎn)生。在利奇格中，每個(gè)球體都被其他196 560個(gè)球體包圍。普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)家約翰·康威（John Conway）通過探測格的結(jié)構(gòu)，在這種獨(dú)特的排列中發(fā)現(xiàn)了三種全新的對稱類型。[4]耶路撒冷希伯來大學(xué)的數(shù)學(xué)家吉爾·卡拉伊（Gil Kalai）說，利奇格是“少數(shù)幾個(gè)最令人興奮的數(shù)學(xué)對象之一”。

開采黃金

模形式是具有特殊對稱性的函數(shù)，就像埃舍爾的版畫中天使和魔鬼的圓形鑲嵌圖案一樣。這些函數(shù)具有啟發(fā)不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的驚人能力——例如，它們在1994年費(fèi)馬大定理的證明中就發(fā)揮了重要作用。盡管模形式已經(jīng)被研究了幾個(gè)世紀(jì)，但數(shù)學(xué)家們?nèi)栽诮议_隱藏在其系數(shù)中的深層秘密。薩爾納克稱模形式為金礦。“我等著某天有人寫一篇題為‘模形式不合理的有效性’的文章?！彼f。

托馬斯·黑爾斯(Thomas Hales)于1998年用計(jì)算機(jī)證明了一個(gè)著名的猜想，即如何用最密集的方式堆疊球體。丨圖片來源：Michigan Photography

然而不幸的是，模形式的數(shù)量十分有限，并且它們是高度受約束的對象?！澳悴荒苤粚懴乱粋€(gè)模形式，就讓它做你需要的任何事?！笨贫髡f，“所以問題在于，是否真的存在一個(gè)模形式能做你需要它做的事?！?/p>

維亞佐夫斯卡2013年的博士論文是關(guān)于模形式的，而且她在離散優(yōu)化方面也有專長。離散優(yōu)化是球堆積問題的核心領(lǐng)域之一。因此，5年前，當(dāng)維亞佐夫斯卡的朋友、挪威科技大學(xué)的安德里·邦達(dá)連科（Andrii Bondarenko）建議他們一起研究8維球堆積問題時(shí)，維亞佐夫斯卡同意了。

他們與德國馬克斯·普朗克數(shù)學(xué)所的達(dá)尼洛·拉琴科（Danylo Radchenko）一起斷斷續(xù)續(xù)地研究這個(gè)問題。最終，邦達(dá)連科和拉琴科轉(zhuǎn)向了其他問題，但維亞佐夫斯卡仍繼續(xù)獨(dú)自持燈前行。她說：“我覺得這是屬于我的問題?！?/p>

2016 年3 月14 日，維亞佐夫斯卡發(fā)表了她的論文。之后，她被這篇論文在球堆積研究人員中引發(fā)的興奮情緒所震驚?！拔艺J(rèn)為人們會對這個(gè)結(jié)果感興趣，但我不知道會有這么多關(guān)注?！本S亞佐夫斯卡說。

那天晚上，科恩發(fā)郵件向她表示祝賀，在兩人郵件交流時(shí)，他問維亞佐夫斯卡是否有可能將自己的方法推廣到利奇格?！拔耶?dāng)時(shí)覺得，‘我已經(jīng)累了，應(yīng)該休息一下?！本S亞佐夫斯卡說，“但我還是想試著發(fā)揮作用。”

他們兩人開始與庫馬爾、拉琴科以及羅格斯大學(xué)的斯蒂芬·米勒（Stephen Miller）合作。得益于維亞佐夫斯卡早期的研究成果，他們很快為利奇格找到了一種構(gòu)造正確輔助函數(shù)的方法。在維亞佐夫斯卡發(fā)布她第一篇論文后僅一周，該團(tuán)隊(duì)就在網(wǎng)上發(fā)布了一篇12頁的論文。[7]

參考文獻(xiàn)

[1] https://doi.org/10.4007/annals.2005.162.1065

[2] https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.7

[3] https://doi.org/10.4153/CJM-1964-065-1

[4] https://doi.org/10.1112/blms/1.1.79

[5] https://doi.org/10.4007/annals.2003.157.689

[6] https://doi.org/10.4007/annals.2009.170.1003

[7] https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.8

本文經(jīng)授權(quán)摘自《素?cái)?shù)的陰謀》（中信出版社·鸚鵡螺，2020.2），原標(biāo)題為《數(shù)學(xué)家攻克高維版本的球堆積問題》。

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